Quando guardiamo una figura come questa e diciamo che si tratta di un ipercubo, facciamo naturalmente un atto di astrazione; e per poter riconoscere in questa figura le caratteristiche dell’ipercubo dobbiamo chiarire QUALE tipo di astrazione stiamo compiendo. Si tratta dello sviluppo di un ipercubo, quindi di un oggetto 3d il cui rapporto con il “vero” ipercubo in 4d è analogo al rapporto che c’è fra questa figura piana di sei quadrati e un cubo.

La figura di sei quadrati diventa un cubo quando si ripiegano le facce uscendo dal piano e si identificano a due a due gli spigoli di bordo (e possiamo anche decidere prima, a partire dallo sviluppo, quali spigoli vengono tra loro identificati).

La costruzione di otto cubi diventa un ipercubo quando si ripieghino le facce uscendo dallo spazio 3d e si identificano a due a due i quadrati di bordo (e anche ora possiamo decidere prima, a partire dallo sviluppo, quali quadrati dovranno essere identificati fra loro).
Naturalmente non tutte le costruzioni di otto cubi sono lo sviluppo di un ipercubo (esattamente come non tutte le figure composte da sei quadrati sono lo sviluppo di un cubo): ad esempio, non potranno essere sviluppi di un ipercubo costruzioni come questa (in cui ci sono 4 cubi concorrenti in uno stesso spigolo; è come se sul piano avessimo 4 quadrati concorrenti in un vertice: anche potendo uscire dal piano e andare nello spazio, non avremmo modo di ripiegare la figura in un cubo perché in quel vertice sarebbe bloccata.

Gli sviluppi del cubo sono 11 e gli sviluppi del cubo sono 261. Un filmato permette di vedere alcuni di questi 261 sviluppi, ottenuti l’uno dall’altro con i cubi che rotolano nella costruzione come potrebbe accadere dallo sviluppo di un cubo staccando uno dei quadrati e riattaccandolo (al posto giusto!). Una animazione interattiva permette di ritrovarli tutti: cliccando su una faccia dello sviluppo (non una faccia qualsiasi, ma un quadrato uscente da uno spigolo dove già nella costruzione ci sono tre cubi: potete riconoscere le facce cliccabili perché si illuminano quando vi passate sopra il mouse) la costruzione cambia, si stacca un pezzo e si riattacca lungo il quadrato su cui abbiamo cliccato. Un'altra animazione propone il confronto tra uno sviluppo dell'ipercubo e altri 5 tra i quali è compreso anche il primo: si tratta di riconoscerlo e la cosa non è del tutto ovvia.

Come si fa a sapere che gli sviluppi del cubo sono 11? E che gli sviluppi dell’ipercubo sono 261? E a trovare quanti sono gli sviluppi di un qualsiasi altro poliedro o politopo?
La risposta alla prima domanda è facile e si può anche ottenere “a mano” esaminando tutte le possibili figure di 6 quadrati; la risposta alla seconda domanda è più complessa; ma è la terza domanda quella che ha una risposta più sorprendente, anche restando nel nostro mondo 3d, e senza bisogno di disturbare una quarta dimensione: se vi siete divertiti a scoprire che gli sviluppi del cubo sono 11, magari potete anche trovare facilmente i 2 sviluppi del tetraedro regolare, e con un po’ più di fatica gli 11 sviluppi dell’ ottaedro regolare; ma non vi conviene imbarcarvi artigianalmente nell’impresa di elencare tutti i possibili sviluppi del dodecaedro o dell’ icosaedro: sono ben 43380.