la relazione di Eulero
La relazione di Eulero
Lo studio dei poliedri è spesso collegato al problema della misurazione di alcune grandezze relative ad essi (volume, area delle facce, lunghezza degli spigoli, ampiezza degli angoli diedri, …).
Ma i poliedri possono essere interessanti anche da altri punti di vista: ad esempio una relazione trovata da Eulero nel 1751 lega il numero V dei vertici, quello F delle facce e quello S degli spigoli nel modo seguente:
Nella tabella qui sotto si può verificare direttamente la validità della relazione di Eulero nel caso dei cinque poliedri regolari, dei prismi e delle piramidi; la relazione vale anche per altri poliedri (ad esempio per il poliedro blu qui sopra in figura o per i due poliedri viola più sotto), ma non per tutti (ad esempio non vale per i poliedri raffigurati più sotto che abbiamo chiamato poliedro rosso e poliedro giallo); ed è stato in effetti un problema significativo quello di capire esattamente per quali poliedri valesse.
![](https://www.matematita.it/personali/media/approf/tab4-2.png)
In un primo momento, si pensò che fosse la convessità la caratteristica discriminante dei poliedri che soddisfano la relazione
di Eulero, ma poi si comprese che non era così: per esempio, i due poliedri qui accanto sono ottenuti l’uno dall’altro mediante una “strozzatura” a livello della cintura, che evidentemente non cambia
i numeri V, S, F; eppure, uno dei due è convesso e l’altro no!
La caratteristica che contraddistingue i poliedri per cui vale la relazione di Eulero è che un qualsiasi taglio continuo e chiuso sulla loro superficie la divide necessariamente in due pezzi: per il poliedro rosso e per il poliedro giallo, invece, si possono trovare tagli continui e chiusi che non dividono la superficie in due pezzi (uno di questi è illustrato in figura): in effetti per questi due poliedri non vale la relazione di Eulero.
![](https://www.matematita.it/personali/media/approf/946sml.png)
Come semplice conseguenza della relazione di Eulero si può ottenere un’altra dimostrazione del fatto che i poliedri regolari sono solo cinque. Un poliedro regolare ha F facce, ciascuna delle quali è un poligono regolare con lo stesso numero h di lati, e in ogni vertice arriva lo stesso numero k di spigoli. Siccome ogni spigolo è comune a due facce, hF è il doppio di S; e siccome ogni spigolo contiene due vertici, kV è il doppio di S. Sostituendo questi dati nella relazione di Eulero, si trova:
da cui, dividendo per 2S, si ottiene:
Tenendo conto del fatto che i valori di h e k sono entrambi maggiori o uguali a 3 (perché ogni faccia ha almeno tre lati e in ogni vertice arrivano almeno tre spigoli), la disuguaglianza
non lascia molte possibilità. Infatti h e k non possono essere entrambi maggiori di 3, perché 1/4 + 1/4 = 1/2, quindi uno dei
due è necessariamente uguale a 3; se h=3 si ottiene 1/k > 1/2 - 1/3 = 1/6, e analogalmente per k=3 si ottiene h<6.
Le sole possibilità per h e k sono quindi:
- h=k=3 (tetraedro: facce triangolari, tre in ogni vertice)
- h=3 e k=4 (ottaedro: facce triangolari, quattro in ogni vertice)
- h=3 e k=5 (icosaedro: facce triangolari, cinque in ogni vertice)
- h=4 e k=3 (cubo: facce quadrate, tre in ogni vertice)
- h=5 e k=3 (dodecaedro: facce pentagonali, tre in ogni vertice)
Dai valori di h e k si possono poi ricavare i valori di S, V, F. Per esempio, sostituendo h=4 e k=3 (corrispondenti al caso del cubo)
in 1/h + 1/k = 1/S + 1/2 si trova 1/S = 1/4 + 1/3 - 1/2 = 1/12,
cioè S = 12 e quindi F = 24/4 = 6, V = 24/3 = 8.
Vale la pena notare che questa dimostrazione che i poliedri regolari sono solo cinque non usa alcun fatto di tipo metrico (lunghezza degli spigoli, ampiezza degli angoli…).
![]() | Tratto dalla scheda La relazione di Eulero a cura di Alessia Cazzola per la mostra Simmetria, giochi di specchi. |