L'utilizzo delle immagini stimola la fantasia e la curiosità di chiunque e induce un interesse verso i temi trattati che può essere utilmente usato per comunicare anche contenuti tecnici non banali.
In queste pagine vengono proposte alcune schede che possono aiutare
ad orizzontarsi in quelle parti del catalogo per le quali può essere
utile qualche conoscenza più tecnica.
La parola "fregio" in matematica indica una figura piana il cui gruppo di simmetria
(cioè l'insieme di quelle trasformazioni del piano che lasciano invariate le distanze e mutano la figura in se stessa) contiene delle traslazioni,
ma solo traslazioni in un'unica direzione e tutte multiple di una traslazione-base.
Una tale figura è necessariamente illimitata (possiamo operare la stessa traslazione 2 volte, 3 volte, 1000 volte ... e la figura rimane invariata), quindi quando chiamiamo fregio una figura su un pezzo di carta, o su un monumento, o su uno schermo di computer, stiamo usando un po di fantasia per immaginare che la figura continui - alla stessa maniera - al di là della pagina, o del muro, o dello schermo.
I possibili gruppi di simmetria per un fregio sono sette (e solo 7!) e li elenchiamo qui sotto usando un nome simbolico (il cui significato verrà spiegato più sotto) e, a fianco, il nome di alcune trasformazioni piane. Questi nomi sono "evocativi", e indicano le trasformazioni "caratterizzanti" il gruppo di simmetria del fregio: non tutte (in effetti tutti i gruppi contengono delle traslazioni, e sarebbe quindi inutile ripeterlo...), ma quelle sufficienti per ricavare tutte le altre. Così per esempio nell'ultimo caso non abbiamo indicato le rotazioni perché si possono ottenere per composizione delle trasformazioni che abbiamo indicato.
 |
∞∞(p111) |
| traslazione | |
 | 22∞(p112) |
| rotazioni | |
 | ∞×(p1a1) |
| glissoriflessione (cioè la composizione della riflessione rispetto a una retta con una traslazione di un vettore parallelo a questa retta) | |
 | ∞*(p1m1) |
| riflessione orizzontale (cioè con asse parallelo alla direzione della traslazione) | |
 | *∞∞(pm11) |
| riflessioni verticali (cioè con asse perpendicolare alla direzione della traslazione) | |
 | 2*∞(pma2) |
| riflessioni verticali e rotazioni | |
 | *22∞(pmm2) |
| riflessioni verticali e riflessione orizzontale |
Il simbolo fra parentesi sulla sinistra è il simbolo con cui sono a volte indicati questi gruppi e trova le sue origini in cristallografia; si tratta di un simbolo composto da 4 segni - numeri o lettere - così costruito:
| pm11 |
| pma2 |
| pmm2 |
| p111 | |
| p112 | |
| p1a1 | |
| p1m1 | |
| |
| p1m1 | pmm2 |
| |
| p1a1 | pma2 |
| | |
| p111 | p112 | pm11 |
| p112 |
| pma2 |
| pmm2 |
| p111 | |
| p1a1 | |
| p1m1 | |
| pm11 | |
L'altro simbolo che abbiamo usato (fuori di parentesi) è la notazione usata da Conway che fa riferimento alla struttura della cosiddetta orbifold, ovvero del quoziente del piano rispetto a questo gruppo.
Sono disponibili alcune animazioni interattive sui fregi: Costruisci il tuo fregio e Riconosci un fregio.
]]>Si può dimostrare che le sole possibilità per il gruppo di simmetria di un rosone sono o un gruppo ciclico (che indichiamo con n. (o con Cn) e che contiene n rotazioni) oppure un gruppo diedrale (che indichiamo con *n. (o con Dn) e che contiene n rotazioni e n riflessioni).
Per ogni intero n, c‘è un corrispondente gruppo ciclico n. (Cn) e uno diedrale *n. (Dn).
| gruppi ciclici | gruppi diedrali | |||
|---|---|---|---|---|
1. (C1)
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2. (C2)
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* (D1)
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*2. (D2)
|
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3. (C3) |
4. (C4) |
*3. (D3) |
*4. (D4)
 |
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5. (C5)
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6. (C6)
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*5. (D5) |
*6. (D6) |
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7. (C7)
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8. (C8)
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*7. (D7)
|
*8. (D8)
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| ... |
...
|
... | ...
|
Si può dimostrare che i possibili gruppi di simmetria per un mosaico sono 17 (e solo 17).
Di questi:
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632 (p6) contiene solo traslazioni e rotazioni (di 60° e multipli) |
 | *632 (p6m) contiene anche riflessioni. |
 | 442 (p4) contiene solo traslazioni e rotazioni (di 90° e multipli). |
 | *442 (p4m) contiene anche riflessioni, rispetto a rette in quattro direzioni diverse. |
 | 4*2 (p4g) contiene anche riflessioni, rispetto a rette in due direzioni diverse. |
 | 333 (p3) contiene solo traslazioni e rotazioni (di 120° e multipli). |
 | *333 (p3m1) contiene anche riflessioni; tutti i centri di rotazione appartengono a un asse di simmetria della figura. |
 | 3*3 (p31m) contiene anche riflessioni; esistono centri di rotazione che non appartengono a un asse di simmetria della figura. |
 | 2222 (p2) contiene solo traslazioni e rotazioni (di 180° e multipli) |
 | *2222 (pmm) contiene anche riflessioni, rispetto a rette in due direzioni diverse; tutti i centri di rotazione appartengono a un asse di simmetria della figura. |
 | 2*22 (cmm) contiene anche riflessioni, rispetto a rette in due direzioni diverse; esistono centri di rotazione che non appartengono a un asse di simmetria della figura. |
 | 22* (pmg) contiene anche riflessioni, tutte rispetto a rette in un’unica direzione. |
 | 22+ (pgg) non contiene riflessioni; contiene delle glissoriflessioni (una glissoriflessione è la composizione di una riflessione rispetto a una retta con una traslazione di un vettore parallelo a questa retta). |
 | o (p1) contiene solo traslazioni |
 | ** (pm) contiene anche riflessioni; non contiene glissoriflessioni, salvo quelle “obbligatorie” che si ottengono per composizione della riflessione in un asse di simmetria della figura con una traslazione parallela. |
 | *+ (cm) contiene anche riflessioni; contiene anche delle glissoriflessioni, rispetto a rette parallele agli assi di simmetria, ma che NON sono a loro volta assi di simmetria della figura |
 | ++ (pg) non contiene riflessioni; contiene delle glissoriflessioni. |
In questa descrizione non abbiamo elencato tutte le trasformazioni presenti in ciascun gruppo, né tutte le caratteristiche e proprietà di ognuno, ma solo alcune, che sono peraltro sufficienti a distinguere i 17 gruppi l’uno dall’altro.
Sono disponibili alcune animazioni interattive sui mosaici: Costruisci il tuo mosaico e Riconosci un mosaico.
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Per vedere che cosa hanno di particolare i cinque poliedri rappresentati da questi dadi, consideriamo qualche altro esempio di poliedro.
Anche con un geoide, ad esempio, potremmo costruire un dado. Questo poliedro potrebbe anche a prima vista sembrare più “regolare”
dei cinque dadi iniziali dato che ha una forma che si avvicina meglio a una sfera ma, guardandolo con attenzione, ci accorgiamo che i suoi vertici non sono tutti dello stesso tipo: da alcuni, come da A, escono cinque spigoli e quindi vi si incontrano cinque poligoni, da altri, come da B, escono sei spigoli e quindi vi si incontrano sei poligoni.
Chiamiamo regolare un poliedro se le sue facce sono poligoni regolari uguali fra loro e in ogni vertice arriva lo stesso numero di facce. In un poliedro di questo tipo sia le facce che gli spigoli che i vertici sono indistinguibili.
Nessuno dei poliedri illustrati qui sopra è quindi regolare, mentre i cinque dadi sono esempi di poliedri regolari. Ce ne sono altri? (dopotutto nel piano possiamo costruire poligoni regolari con quanti lati vogliamo). No, nello spazio esistono solo i cinque poliedri regolari rappresentati in questi dadi.
Già gli antichi Greci erano a conoscenza di questo fatto e ne furono così impressionati che i Pitagorici e successivamente Platone costruirono le loro teorie cosmogoniche associando ai cinque poliedri regolari i costituenti fondamentali della natura. Per questo i poliedri regolari sono anche detti solidi platonici.
Nel “Timeo” Platone descrive il tetraedro come “elemento e germe” del fuoco, l’ottaedro dell’aria, l’icosaedro dell’acqua, il cubo della terra, mentre il dodecaedro rappresenta l’immagine dell’universo nella sua totalità: “rimanendo una quinta combinazione, Dio se ne giovò per il disegno dell’universo”.
L’ultimo libro degli “Elementi” di Euclide è dedicato ai cinque solidi platonici, ad alcune loro proprietà e relazioni e alla dimostrazione del fatto che non ne esistono altri.
Sono stati ritrovati modelli di poliedri regolari anche in civiltà precedenti a quella greca, e il loro fascino, legato sia all’armonia delle proporzioni che alle proprietà matematiche, ha continuato a colpire artisti e scienziati fino ai giorni nostri.
I dodecaedri avevano un significato religioso anche nella cultura etrusca ed erano usati come dadi nell’Italia romana.
Nel Rinascimento italiano i poliedri regolari sono stati un ottimo soggetto su cui compiere studi prospettici: li ritroviamo in opere per esempio di Paolo Uccello, Piero della Francesca, Albrecht Dürer, Leonardo da Vinci, Luca Pacioli e Leonardo Pisano (il Fibonacci).
Keplero nel 1595 credette di “essere penetrato nei segreti del creatore” poiché aveva elaborato un modello di sistema planetario (poi rivelatosi errato) utilizzando i solidi platonici per descrivere le distanze tra le orbite ellittiche dei sei pianeti allora conosciuti.
Forme ispirate ai poliedri regolari abbondano anche nell'arte e nel design moderni, dalle opere di Escher all'architettura modulare, agli oggetti di Munari.
Una curiosità tra le tante: in Francia sono stati costruiti cassonetti per la raccolta differenziata a forma di dodecaedro.
Anche la natura ci mostra esempi di poliedri regolari: alcuni cristalli, la forma tetraedrica della schiuma della birra, i virus che hanno spesso forma icosaedrica, semplici organismi viventi come i radiolari, ...
| Tratto dalla scheda I cinque poliedri regolari a cura di Cristina Vezzani per la mostra Simmetria, giochi di specchi. |