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I cinque poliedri regolari

Quando lanciamo un dado, ci aspettiamo che, data l’evidente simmetria della sua forma, ognuno dei sei numeri segnati sulle facce abbia la stessa probabilità di uscire.
Nei negozi di giochi, oltre all’usuale dado a sei facce, si vendono anche dadi con quattro, otto, dodici e venti facce.

Per vedere che cosa hanno di particolare i cinque poliedri rappresentati da questi dadi, consideriamo qualche altro esempio di poliedro.

        

Anche con un geoide, ad esempio, potremmo costruire un dado. Questo poliedro potrebbe anche a prima vista sembrare più “regolare” dei cinque dadi iniziali dato che ha una forma che si avvicina meglio a una sfera ma, guardandolo con attenzione, ci accorgiamo che i suoi vertici non sono tutti dello stesso tipo: da alcuni, come da A, escono cinque spigoli e quindi vi si incontrano cinque poligoni, da altri, come da B, escono sei spigoli e quindi vi si incontrano sei poligoni.

Chiamiamo regolare un poliedro se le sue facce sono poligoni regolari uguali fra loro e in ogni vertice arriva lo stesso numero di facce. In un poliedro di questo tipo sia le facce che gli spigoli che i vertici sono indistinguibili.

Nessuno dei poliedri illustrati qui sopra è quindi regolare, mentre i cinque dadi sono esempi di poliedri regolari. Ce ne sono altri? (dopotutto nel piano possiamo costruire poligoni regolari con quanti lati vogliamo). No, nello spazio esistono solo i cinque poliedri regolari rappresentati in questi dadi.

Già gli antichi Greci erano a conoscenza di questo fatto e ne furono così impressionati che i Pitagorici e successivamente Platone costruirono le loro teorie cosmogoniche associando ai cinque poliedri regolari i costituenti fondamentali della natura. Per questo i poliedri regolari sono anche detti solidi platonici.
Nel “Timeo” Platone descrive il tetraedro come “elemento e germe” del fuoco, l’ottaedro dell’aria, l’icosaedro dell’acqua, il cubo della terra, mentre il dodecaedro rappresenta l’immagine dell’universo nella sua totalità: “rimanendo una quinta combinazione, Dio se ne giovò per il disegno dell’universo”.
L’ultimo libro degli “Elementi” di Euclide è dedicato ai cinque solidi platonici, ad alcune loro proprietà e relazioni e alla dimostrazione del fatto che non ne esistono altri.
Sono stati ritrovati modelli di poliedri regolari anche in civiltà precedenti a quella greca, e il loro fascino, legato sia all’armonia delle proporzioni che alle proprietà matematiche, ha continuato a colpire artisti e scienziati fino ai giorni nostri.
I dodecaedri avevano un significato religioso anche nella cultura etrusca ed erano usati come dadi nell’Italia romana.
Nel Rinascimento italiano i poliedri regolari sono stati un ottimo soggetto su cui compiere studi prospettici: li ritroviamo in opere per esempio di Paolo Uccello, Piero della Francesca, Albrecht Dürer, Leonardo da Vinci, Luca Pacioli e Leonardo Pisano (il Fibonacci).

Keplero nel 1595 credette di “essere penetrato nei segreti del creatore” poiché aveva elaborato un modello di sistema planetario (poi rivelatosi errato) utilizzando i solidi platonici per descrivere le distanze tra le orbite ellittiche dei sei pianeti allora conosciuti.

Forme ispirate ai poliedri regolari abbondano anche nell'arte e nel design moderni, dalle opere di Escher all'architettura modulare, agli oggetti di Munari.
Una curiosità tra le tante: in Francia sono stati costruiti cassonetti per la raccolta differenziata a forma di dodecaedro.

Anche la natura ci mostra esempi di poliedri regolari: alcuni cristalli, la forma tetraedrica della schiuma della birra, i virus che hanno spesso forma icosaedrica, semplici organismi viventi come i radiolari, ...

logo Tratto dalla scheda I cinque poliedri regolari a cura di Cristina Vezzani per la mostra Simmetria, giochi di specchi.

Ancora sui cinque poliedri regolari

Tutti sono d’accordo sul fatto che sia “equo” usare il cubo, o anche uno degli altri poliedri regolari, per giocare a dadi, perché ogni faccia ha la stessa probabilità di apparire, o, come si dice, le facce sono indistinguibili. Ma che cosa vuol dire esattamente “indistinguibili”?
L’aggettivo sta a indicare che se abbiamo un poliedro regolare e ne fissiamo due facce, riusciamo sempre a ruotarlo in modo che la prima faccia vada ad occupare la posizione iniziale della seconda e globalmente il poliedro torni su se stesso.
Ad esempio, per spostare nella faccia in alto la faccia del cubo che qui in figura è di fronte, basta ruotare il cubo di 90° intorno alla retta segnata come r in figura. Le due facce, quindi, non si possono distinguere se non sono state marcate con un’etichetta.
La stessa cosa accade anche per due vertici o per due spigoli: per mandare lo spigolo a nello spigolo b basta ruotare il cubo di 120° intorno alla retta s; e la stessa rotazione può servire anche per mandare il vertice P nel vertice Q.

La tabella qui sotto descrive i cinque poliedri regolari.

In essa le prime tre colonne numeriche riportano il numero di facce, di spigoli, e di vertici per ciascuno di essi, mentre le due successive possono essere interpretate come le “istruzioni” per costruire lo scheletro del poliedro se si hanno a disposizione bastoncini tutti di uguale lunghezza e un modo per unirli insieme nei loro estremi (ad esempio, se si hanno cannucce da bibita e scovolini nettapipe per fare i giunti). Così i numeri che compaiono nell’ultima riga indicano che in un icosaedro ci sono 20 facce, 30 spigoli, 12 vertici, 5 spigoli in ogni vertice e 3 spigoli per ogni faccia: se continuiamo a unire cinque cannucce in ogni vertice e a formare dei triangoli, l’oggetto “si chiude” e dà origine proprio a un icosaedro.

Anche la colonna finale della tabella dà delle istruzioni per costruire il poliedro corrispondente: in questo caso partendo dal disegno dello sviluppo su un cartoncino si ottiene la superficie del poliedro e non solo lo scheletro.

Ci sono altre informazioni che possiamo trarre dalla tabella. Ad esempio il fatto che cubo e ottaedro sono “parenti”: hanno lo stesso numero di spigoli, e l’uno non solo ha tante facce quanti sono i vertici dell’altro, ma anche per ogni suo vertice si contano tanti spigoli quanti sono quelli di una faccia dell’altro. Questa parentela è messa in evidenza dalle figure qui accanto: se consideriamo i centri delle facce di un cubo e ne congiungiamo due quando le facce corrispondenti hanno uno spigolo in comune, otteniamo un ottaedro.
E, viceversa, se facciamo la stessa costruzione partendo da un ottaedro otteniamo un cubo.
Anche il dodecaedro e l’icosaedro sono parenti nel senso che si è appena detto, come si può osservare sia a partire dalle colonne numeriche della tabella sia nelle due figure qui accanto.

Invece di chi è “parente” il tetraedro? Non ci sono altri poliedri regolari, ma il fatto che il tetraedro regolare abbia tante facce quanti vertici può aiutarci a rispondere a questa domanda…


logo Tratto dalla scheda Ancora sui cinque poliedri regolari a cura di Cristina Vezzani per la mostra Simmetria, giochi di specchi.

Perché solo cinque?

Per costruire un poliedro regolare, dobbiamo prendere tante copie dello stesso poligono regolare e unirle lungo gli spigoli (in modo che ci sia sempre lo stesso numero di copie intorno a un vertice). Quante sono le possibilità?

Incominciamo a cercare i poliedri regolari con facce triangolari. Se mettiamo insieme tre triangoli equilateri intorno a uno stesso vertice, otteniamo il tetraedro; se ne mettiamo quattro, ritroviamo l’ottaedro e se ne mettiamo cinque, generiamo l’icosaedro. Sei triangoli equilateri che concorrono in un vertice sono troppi perché stanno su uno stesso piano, mentre se se ne mettono insieme sette o più si ottiene necessariamente un solido concavo; quindi non ci possono essere altri poliedri regolari con facce triangolari. Passiamo ai quadrati. Possiamo costruire soltanto il cubo mettendo insieme tre quadrati in ogni vertice, dal momento che quattro quadrati sono già troppi perché stanno su uno stesso piano. Con i pentagoni regolari possiamo costruire solo il dodecaedro, prendendone tre per vertice, perché il pentagono regolare ha gli angoli così grandi che quattro sono troppi. Non ci sono altre possibilità di costruire poliedri regolari perché con poligoni regolari aventi più di cinque lati, anche solo tre copie sono troppe perché le si possa unire intorno a un vertice del poliedro: tre esagoni regolari stanno su uno stesso piano e l’ampiezza degli angoli in gioco aumenta con il crescere del numero dei lati.

Poliedri che “si assomigliano”

Da quanto detto finora potrebbe sembrare che i poliedri regolari siano soltanto cinque perché è “troppo” forte il vincolo che in ogni vertice si incontri lo stesso numero di poligoni regolari uguali fra di loro. In realtà non è tanto la regolarità dei poligoni o l’uguaglianza tra di loro a vincolare la situazione, quanto la regolarità della “struttura” del poliedro: vediamo in che senso.

Se si confronta un parallelepipedo qualsiasi con i cinque poliedri regolari, salta subito all’occhio che esso assomiglia a un cubo più che a uno qualunque degli altri. Il parallelepipedo e il cubo hanno la stessa struttura: in tutti e due le facce sono poligoni a quattro lati e in ogni vertice arrivano tre spigoli.
Allo stesso modo una qualsiasi piramide a base triangolare assomiglia di più al tetraedro, che non ad un altro dei poliedri regolari, perché ha la sua stessa struttura: facce con tre lati e tre spigoli per ogni vertice.
Invece una piramide a base non triangolare, o un tronco di piramide a base non rettangolare, o anche il pallone da calcio, sono essenzialmente diversi dai cinque poliedri regolari: in un poliedro regolare tutte le facce hanno lo stesso numero h di lati e in ogni vertice arriva lo stesso numero k di spigoli, mentre in questi solidi ciò non accade.

Un poliedro ha una “struttura regolare” se tutte le sue facce hanno lo stesso numero h di lati e in ogni suo vertice arriva lo stesso numero k di spigoli: i cinque poliedri regolari, i parallelepipedi a base rettangolare, le piramidi a base triangolare sono esempi di poliedri con struttura regolare. Un risultato matematico profondo e ricco di significati e sviluppi afferma che per un poliedro con struttura regolare ci sono solo cinque possibilità:






logo Tratto dalla scheda Perché solo 5? a cura di Cristina Vezzani per la mostra Simmetria, giochi di specchi.